介绍一下奇点和虚时间

（本文根据网上的一些科普内容改写而成。）

在介绍宇宙大爆炸和黑洞的文章里，“奇点”这个概念经常出现，让很多人感到困惑。所谓奇点在数学上是指一个分数的分子为有限值而分母趋于零的极限。例如正切函数tan(x),当x从89度逐步逼近90度时，tan(x)无限趋近于正无穷大；当x从91度逐步逼近90度时，tan(x)无限趋近于负无穷大；当x无限接近90度时，tan(x)趋于无穷大，但无法判定正负，tan(90)就是一个数学奇点。

在现实物理世界中，任何具体的度量都是有限的，所谓无穷大是一个数学上外推的概念。例如力学中的所谓质点，是“质量为m（体积为0）的点”，要深究它的密度会是个棘手的问题。在经典力学中，忽略质点所占的空间体积，不关心它的密度，并不影响对问题的求解，因此质点是一个理想的研究对象。但如果研究对象进入微观领域，或者宇宙的宏观尺度，密度无限大的影响可能就不能如此轻易地回避了。

根据爱因斯坦的广义相对论引力场方程，巨大质量所带来的引力场将会使其附近的空间发生强烈的弯曲。在曲线的任意位置上取一段无限短的弦，都可以视其为某个圆弧的一部分；而它所对应圆的半径越小，曲线在该处的弯曲程度（曲率）就越大。正如一盘极为细密的蚊香，其理论燃烧速度会随着接近中心而越来越快，而终点处曲率的理论值为无穷大。引力场方程的一个非平凡解表明，中心质量达到一定门槛的引力场可以使它周围的空间弯曲到在“视界”或者说史瓦西半径以内的任何物质（包括光）都无法逃逸出来，这就是所谓的黑洞。黑洞的中心是一个空间曲率为无穷大的奇点。

事实上，广义相对论引力场方程的每一个非平凡解都对应着一个“特殊的”宇宙。爱因斯坦曾经为了使其中一个解所对应的宇宙模型符合当时占主导地位的“静态宇宙学说”，在引力场方程中添加了一个被称作宇宙项的常数。1929年哈勃等人的观测表明我们所处的宇宙正在不断地膨胀而非静态，其相应的膨胀宇宙解正是场方程去掉宇宙项的一个非平凡解。爱因斯坦其后承认添加宇宙项是他一生中犯下的最大错误。

在霍金、彭罗斯之前的理论认为：宇宙始于150亿年前的一次大爆炸，终局根据场方程的具体参数可能是大坍塌，也可能会持续膨胀到接近绝对零度的死寂（或许可以认为是熵无限大的一个奇点）。宇宙从奇点创生并终结于奇点；在奇点附近，质量无穷大、空间曲率无穷大、基本物理定律包括场方程本身都会失效。换句话说，所以有关初始以及终结的问题都被排除到物理学定律的适用范围之外：完全无可奉告。

如果宇宙真的始于一个奇点，那么从现在向过去追溯，必然会到达一个“没有从前”的时间原点。追问它之前究竟是什么的问题“没有意义”，这个奇点虽然是爱因斯坦广义相对论的必然推论，但它对于充满好奇心的科学家来说在感情上终究很难接受。霍金同学就是这样一个不太安分守己的科学家。他在提出的宇宙膨胀中的奇点理论之后四年勇敢地否定了自己之前理论，用量子理论的路径积分找出了回避奇点的方法。简单地说，如果只考虑时间，霍金的新宇宙是连续的：任何时候都存在时间，即使在大爆炸之前或者大坍塌之后也不例外。

直观地看，霍金的新宇宙模型象一个球形，北极点对应于宇宙诞生的大爆炸。宇宙从北极点开始，球的纬度圈对应于着宇宙的大小，随着时间的推移，宇宙逐渐沿北纬80度、70度、60度……的方向膨胀。目前对应着宇宙诞生后大约150亿年，大致为北纬40度。再过100亿年左右，宇宙会膨胀到最大也就是赤道的位置。然后转入收缩，最后是大坍塌，相当于模型的南极点。

在数学上，新宇宙模型的南、北极并没有像奇点这样的特殊构造。问题是，如果大爆炸对应着北极，那么大爆炸之前难道要对应“比北极更北”的地方吗？霍金的办法是定义大爆炸以前的时间为虚数，这样就可以不依靠奇点，“平坦地”解释宇宙的初始与终结。问题是消灭了奇点却又引入了令人费解的“虚数”，那么虚时间究竟是什么呢？

狭义相对论认为光速不变，长度及时间因测量方法的不同而不同，时间与空间都是运动的维度。设x、y、z为三维空间互相垂直的三个坐标轴，t为时间。为了使时间成为可用长度表示的维，以时间与光速c的乘积ct作为第四维的轴。这四维坐标轴彼此垂直，两个点在四维空间中的距离S定义为:

x**2 + y**2 + z**2 -(ct)**2 = S**2

这就是所谓四维时空中的勾股定理，这个扩展勾股定理表示了四维时空中的光速不变性。已知四维时空中两个点的距离为S，它们之间的时间差是多少呢？如果S**2 > x**2 + y**2 + z**2，则有：

t = i * Sqrt(S**2 - x**2 - y**2 - z**2)/c

这是否在暗示我们，时间本身就是一个虚数呢？相对于实实在在伸展的空间(x、y、z），时间似乎真的是虚无漂渺的呢！

以此为基础，再来看对应于宇宙时间“初始点”的北极。经线的长度ct表示时间，纬线的长度r表示空间（缩减为一维的圆圈）。球面上近距离两点（时空）间的距离的平方等于纬度线方向上距离的平方（r**2）与经度线方向上距离的平方[-(ct)**2]之和，即：

S**2 = r**2 -(ct)**2

当我们把这个应用到北极点上就会遇到困难，因为从北极点只能引出经线，没有纬线，因此r=0，在那里S**2只能为负数，因此我们必须特殊地对待北极点：把它看作奇点。这个模型叫做弗里德曼时空模型。

然而，如果我们定义在北极点的邻域时间为it（虚数）,则有：
S**2 = (ct)**2

这就是霍金等人所采用的所谓德西特时空模型，它回避了对北极点的特殊奇点处理。在弗里德曼模型里，北极点象东正教的尖屋顶一般突起，而德西特模型则圆滑地象个皮球。

更进一步，如同霍金所假设的，在宇宙的最初时间是虚数，那么

力 = 质量 * 加速度 = M * Δr / (Δt)**2

由于Δt为虚数，力的方向由引力变为反向的斥力，锁定能量的禁锢在一瞬间消失，揭开了宇宙大爆炸的序幕。在此瞬间后不久时间由虚变实，引力再次成为主宰，回到了广义相对论能够提供解释的膨胀状态。可见，虚时间不仅消除了大爆炸的奇点，还解释了大爆炸的原因。但是它又引出了一个新的老问题：到底什么是虚时间？它为什么会从虚转实？